Ecuaciones Diferenciales

Temario

Unidad 4 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Este tema está dedicado a la discusión de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la misma variable independiente.

Por ejemplo, las leyes de Newton.

donde m es la masa de la partícula, (x₁, x₂, x₃) son sus coordenadas espaciales y F₁, F₂, F₃ las componentes de la fuerza actuante sobre la partícula en dicha posición, que pueden ser función de la posición, de la velocidad y del tiempo. Hay una importante conexión entre los sistemas de ecuaciones y las ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuación de orden n

(1)

puede ser reducida a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con una forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables, llamando

... Entonces se puede reescribir (1) como

... que es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. En el caso más general un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden tiene tiene la forma: ... Antes de proseguir será necesario establecer en qué caso hay solución del sistema y si ésta es única. Para ello, se enuncia el siguiente teorema:

Teorema Sean continuas en una región R del espacio (n+1) dimensional las funciones

y tal que dicha región contiene el punto . Entonces existe un intervalo en el que hay solución única de la forma: ... del sistema de ecuaciones diferenciales que satisface la condición ...

Nota.- Es importante saber que este teorema da las condiciones suficientes para que haya solución, sin embargo, no establece las necesarias. Es decir, las condiciones son muy restrictivas y puede encontrarse un sistema que sin cumplirlas totalmente tenga solución única.

Los sistemas se clasifican como las ecuaciones ordinarias. Pueden ser lineales y no lineales. Si las funciones tienen la forma el sistema se dice lineal. Si no, es no lineal. Si es cero en todas y cada una de las ecuaciones, el sistema se dice homogéneo; en caso contrario, no homogéneo.

Para los sistemas lineales el teorema de existencia y unicidad de solución es más simple y con una conclusión más amplia. Es un teorema de existencia de solución global, como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Si las funciones y son continuas en el intervalo abierto  < t <  que contiene al punto , entonces existe una única solución al sistema de la forma: ... que satisface las condiciones de valor inicial ...

Obsérvese que la existencia y unicidad de la solución del sistema está asegurada en todo el intervalo en que las funciones p_ij(t) y q_i(t) son continuas a diferencia de los sistemas no-lineales en los que la existencia y unicidad quedaba consignada en un subintervalo incluido en el de continuidad de las funciones

4.1 TEORIA PRELIMINAR

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuacióndiferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

O como su forma implícita:

4.1.1 SISTEMAS DE ECUACIO NESDIFERENCIALES

Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de 1^er orden

...

Utilizando notación matricial el sistema se puede escribir

donde

y su derivada

Esta notación, además de simplificar la escritura, enfatiza el paralelismo entre los sistemas y las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Se dice que un vector x = { (t)} es solución del sistema si sus componentes satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Supóngase que P y q son continuos en un intervalo  < t <  . En primer lugar, se estudia la ecuación homogénea

(1)

Una vez que esta ecuación esté resuelta se resolverá la no-homogénea.

Sean

soluciones específicas de la ecuación homogénea.

Teorema 1

Si y son soluciones del sistema (1), entonces es solución también, donde y son constantes arbitrarias.

Este es el principio de superposición y se comprueba sin más que diferenciar la solución propuesta y sustituirla en (1)

Aparentemente se pueden encontrar infinitas soluciones, por ello se debe cuestionar acerca del número mínimo de soluciones independientes que generan todas y cada una de las soluciones del sistema.

Por similitud a los temas previos se puede afirmar que habrá n. Sean , , ......, . Considérese la matriz formada por estos vectores columna -cada columna es uno de estos vectores-

Estas soluciones serán linealmente independientes en cada punto t del intervalo  < t <  si y sólo si el determinante es distinto de cero en ese punto. Al determinante de X se le llama wronskiano de las n soluciones.

Teorema 2

Si las funciones vectoriales , , ......, son soluciones linealmente independientes del sistema (1) en cada punto de  < t <  entonces la solución del sistema { (t)} puede ser expresada como una combinación lineal de , , ......, .

Para demostrarlo véase que con sólo elegir adecuadamente los valores de las constantes se puede obtener la solución { (t)} que cumpla unas determinadas condiciones de contorno en un punto del intervalo  < t < 

Sean estas condiciones siendo Si

Sustituyendo el valor se obtienen n ecuaciones algebraicas de la forma:

Este sistema tiene solución para las incógnitas , , ........, si el determinante de los coeficientes es distinto de cero. Como el wronskiano es distinto de cero -las funciones son independientes- en el intervalo  < t <  , el determinante es distinto de cero. Por consiguiente hay una única solución del sistema y Llamando W(t) al wronskiano. Dicha función verifica la ecuación diferencial. que se conoce con el nombre de fórmula de Abel.

Como

Derivando

pero

o empleando el convenio de Einstein de suma en índices repetidos:

Por tanto

Por consiguiente se llega a que

Integrando se obtiene que siendo K una constante de integración.

Teorema 3

Si , , ......, son soluciones de en el intervalo  < t <  entonces en este intervalo el wronskiano o es cero o nunca es cero.

La demostración surge como una consecuencia de la fórmula de Abel. Si las funciones son continuas en ( , ) la traza de la matriz P(t) es una función continua y por consiguiente la función exponencial no se anula para valores de x pertenecientes al intervalo ( , ). El único valor que puede ser cero es la constante K. Si lo es, el wronskiano es cero para cualquier valor de x; en caso contrario, nunca se anula.

Teorema 4

Si se llama

, , ... , y las soluciones , , ......, son tales que

donde t es cualquier punto en  < t <  , entonces , , ......, son conocidas como soluciones fundamentales y cualquier solución del sistema se puede expresar como una combinación lineal de estas soluciones fundamentales.

La demostración es una consecuencia de lo visto en teoremas anteriores. Estas soluciones fundamentales son linealmente independientes, ya que en un punto del intervalo su wronskiano es distinto de cero; en concreto, vale uno. Al ser un conjunto de n soluciones linealmente independientes constituye un conjunto generador de soluciones.

4.1.2 SISTEMA DE ECUCION LINEAL HOMOGÉNEO

En este apartado se construye la solución general de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.

Sea el sistema x' = A·x donde A es una matriz n x n. Por analogía a las ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes, se busca una solución de la forma donde el vector a y el escalar r son constantes a determinar. Sustituyendo en la ecuación diferencial se llega a:

como no es cero, se obtiene que o (A-r·I)·a = 0 donde I es la matriz identidad. Por tanto para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales se ha de obtener la solución de un sistema algebraico. Precisamente éste es el problema de determinación de vectores y valores propios de la matriz A. Por tanto el vector solución del sistema viene definido por los valores r que son los autovalores de A y los vectores a son sus autovectores asociados.

Ejemplo

Suponiendov se llega a que luego Son soluciones:

y y los autovectores asociados son: Por tanto las soluciones son y

El wronskiano es que no es cero, por tanto, la solución general es:

puesto de otra forma:

Para visualizar estos resultados se pueden representar en el plano las soluciones para distintos valores de y .

Volviendo al sistema original, los autovalores (puede haber raíces múltiples) son las raíces de:

det (A - r·I) = 0

4.1.3 SOLUCION GENERAL Y SOLUCION PARTICULAR

Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general. Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n variables arbitrarias, correspondientes a n constantes de integración. Una solución particular es derivada de la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para cumplir condiciones iniciales. Una solución singular es una solución que no puede ser derivada de la solución general.

4.2 METODOS DE SOLUCIONES

El teorema de Peano-Picard garantiza la existencia de una solución y su unicidad para toda ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes continuos en un intervalo tiene solución única en dicho intervalo. Para el caso de ecuaciones diferenciales no-lineales no existen resultados análogos al de Peano-Picard.

El teorema de Peano-Picard demuestra la existencia mediante una demostración constructiva, para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Puesto que toda ecuación diferencial lineal de orden arbitrario puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se sigue del teorema de Peano-Picard la existencia y unicidad de la solución. La idea del teorema es simple construye una sucesión de Cauchy funciones cuyo límite es precisamente la solución del sistema. La demostración de la unicidad por otra parte resulta trivial.

Soluciones analíticas Existen métodos de resolución generales para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que permiten encontrar soluciones analíticas. En particular si los coeficientes de la ecuación lineal son constantes o periódicos la solución es casi siempre fácil de construir. Para coeficientes no constantes o no periódicos, pero que son desarrollables en serie de Taylor o serie de Laurent es aplicable con ciertas restricciones el método de Frobenius. Otra posibilidad es reducir una ecuación diferencial lineal de orden n a un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Para las ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales no existen métodos generales.

Soluciones numéricas Algunos de los métodos de solución numérica de ecuaciones diferenciales son el método de Runge-Kutta, los métodos multipaso y los métodos de extrapolación.