martes, 26 de junio de 2012
Unidad 4 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Este tema está dedicado a
la discusión de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas.
Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relación con varias variables
dependientes que son función de la misma variable independiente.
Por ejemplo, las leyes de
Newton.
|
|
(1)
|
puede ser reducida a un
sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con una forma bastante
particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables,
llamando
Teorema Sean continuas en una región R del espacio
(n+1) dimensional
las funciones
y tal que dicha región
contiene el punto
. Entonces existe un intervalo
en el que hay solución única de la forma:
...
del sistema de ecuaciones
diferenciales que satisface la condición
...
Nota.-
Es importante saber que este teorema da las condiciones suficientes para que
haya solución, sin embargo, no establece las necesarias. Es decir, las
condiciones son muy restrictivas y puede encontrarse un sistema que sin
cumplirlas totalmente tenga solución única.
Los sistemas se clasifican
como las ecuaciones ordinarias. Pueden ser lineales y no lineales. Si las
funciones
tienen la forma
el sistema se dice lineal. Si
no, es no lineal. Si
es cero en todas y cada una de las ecuaciones, el sistema se dice
homogéneo; en caso contrario, no homogéneo.
Para los sistemas lineales
el teorema de existencia y unicidad de solución es más simple y con una
conclusión más amplia. Es un teorema de existencia de solución global, como en
el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Si las funciones
y
son continuas en el intervalo abierto < t < que contiene al punto
, entonces existe una única solución al sistema de la forma:
...
que satisface las condiciones
de valor inicial
...
Obsérvese que la existencia
y unicidad de la solución del sistema está asegurada en todo el intervalo en
que las funciones pij(t) y qi(t) son continuas a
diferencia de los sistemas no-lineales en los que la existencia y unicidad
quedaba consignada en un subintervalo incluido en el de continuidad de las
funciones
4.1 TEORIA PRELIMINAR
Una ecuación diferencial
ordinaria de primer orden es una ecuacióndiferencial ordinaria donde
intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente.
Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar
expresadas en forma explícita:
O como su forma implícita:
4.1.1 SISTEMAS DE ECUACIO NESDIFERENCIALES
Sea un sistema de n
ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden
Utilizando notación
matricial el sistema se puede escribir
y su derivada
y
Esta notación, además de
simplificar la escritura, enfatiza el paralelismo entre los sistemas y las
ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
Se dice que un vector x = { (t)} es solución del sistema si
sus componentes satisfacen todas las ecuaciones del sistema.
Supóngase que P y q son continuos en un intervalo < t < . En primer lugar,
se estudia la ecuación homogénea
|
|
(1)
|
Una vez que esta ecuación
esté resuelta se resolverá la no-homogénea.
Sean
Teorema
1
Si
y
son soluciones del sistema (1), entonces
es solución también, donde
y
son constantes arbitrarias.
Este es el principio de
superposición y se comprueba sin más que diferenciar la solución propuesta y
sustituirla en (1)
Aparentemente se pueden
encontrar infinitas soluciones, por ello se debe cuestionar acerca del número
mínimo de soluciones independientes que generan todas y cada una de las
soluciones del sistema.
Por similitud a los temas
previos se puede afirmar que habrá n. Sean
,
, ......,
. Considérese la matriz formada por estos vectores columna -cada
columna es uno de estos vectores-
Estas soluciones serán
linealmente independientes en cada punto t del intervalo < t < si y
sólo si el determinante es distinto de cero en ese punto. Al determinante de X se le llama wronskiano de las n
soluciones.
Teorema
2
Si las funciones
vectoriales
,
, ......,
son soluciones linealmente independientes del sistema (1) en cada
punto de < t < entonces la solución del sistema { (t)} puede ser
expresada como una combinación lineal de
,
, ......,
.
Para demostrarlo véase que
con sólo elegir adecuadamente los valores de las constantes se puede obtener la
solución { (t)} que cumpla unas determinadas condiciones de contorno en un
punto
del intervalo < t <
Sean estas condiciones
siendo
Si
Sustituyendo el valor
se obtienen n ecuaciones algebraicas de la forma:
Este sistema tiene solución
para las incógnitas
,
, ........,
si el determinante de los coeficientes es distinto de cero. Como el
wronskiano es distinto de cero -las funciones son independientes- en el
intervalo < t < , el determinante es distinto de cero. Por
consiguiente hay una única solución del sistema y
Llamando W(t) al wronskiano. Dicha
función verifica la ecuación diferencial.
que se conoce con el nombre de fórmula de Abel.
Como
Derivando
pero
Teorema
3
Si
,
, ......,
son soluciones de
en el intervalo < t <
entonces en este intervalo el wronskiano o es cero o nunca es cero.
La demostración surge como
una consecuencia de la fórmula de Abel. Si las funciones
son continuas en ( , ) la traza de la matriz P(t) es una función continua y por
consiguiente la función exponencial no se anula para valores de x
pertenecientes al intervalo ( , ). El único valor que puede ser cero es la constante
K. Si lo es, el wronskiano es cero para cualquier valor de x; en caso
contrario, nunca se anula.
Teorema
4
Si se llama
donde t es cualquier punto
en < t < , entonces
,
, ......,
son conocidas como soluciones fundamentales y cualquier solución del
sistema se puede expresar como una combinación lineal de estas soluciones
fundamentales.
La demostración es una
consecuencia de lo visto en teoremas anteriores. Estas soluciones fundamentales
son linealmente independientes, ya que en un punto del intervalo su wronskiano
es distinto de cero; en concreto, vale uno. Al ser un conjunto de n soluciones
linealmente independientes constituye un conjunto generador de soluciones.
4.1.2 SISTEMA DE ECUCION LINEAL HOMOGÉNEO
En este apartado se construye
la solución general de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con
coeficientes constantes.
Sea el sistema x' = A·x donde A es una matriz n x n. Por analogía a
las ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes, se busca
una solución de la forma
donde el vector a y el escalar r son constantes a
determinar. Sustituyendo en la ecuación diferencial se llega a:
Ejemplo
Suponiendov
se llega a que
luego
Son soluciones:
El wronskiano es
que no es cero, por tanto, la solución general es:
Para visualizar estos resultados
se pueden representar en el plano
las soluciones para distintos valores de
y
.
Volviendo al sistema
original, los autovalores
(puede haber raíces múltiples) son las raíces de:
det (A - r·I) = 0
4.1.3 SOLUCION GENERAL Y SOLUCION PARTICULAR
Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general. Una solución general de una ecuación de
orden n es una solución que
contiene n variables
arbitrarias, correspondientes a n
constantes de integración. Una solución particular es derivada de la
solución general mediante la fijación de valores particulares para las
constantes, a menudo elegidas para cumplir condiciones iniciales.
Una solución singular es una
solución que no puede ser derivada de la solución general.
4.2 METODOS DE SOLUCIONES
El teorema de Peano-Picard garantiza la
existencia de una solución y su unicidad para toda ecuación diferencial
ordinaria lineal con coeficientes continuos en un intervalo tiene solución
única en dicho intervalo. Para el caso de ecuaciones diferenciales no-lineales
no existen resultados análogos al de Peano-Picard.
El teorema de Peano-Picard demuestra la existencia
mediante una demostración constructiva, para un sistema de ecuaciones diferenciales
lineales de primer orden. Puesto que toda ecuación diferencial lineal de orden
arbitrario puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer
orden, se sigue del teorema de Peano-Picard la existencia y unicidad de la
solución. La idea del teorema es simple construye una sucesión de Cauchy funciones cuyo límite es
precisamente la solución del sistema. La demostración de la unicidad por otra
parte resulta trivial.
Soluciones analíticas Existen métodos de resolución generales para
ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que permiten encontrar soluciones
analíticas. En particular si los coeficientes de la ecuación lineal son
constantes o periódicos la solución es casi siempre fácil de construir. Para
coeficientes no constantes o no periódicos, pero que son desarrollables en serie
de Taylor o serie de Laurent es aplicable con ciertas
restricciones el método de Frobenius. Otra posibilidad es reducir una ecuación
diferencial lineal de orden n a
un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Para
las ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales no existen métodos
generales.
Soluciones numéricas Algunos de los métodos de solución numérica de
ecuaciones diferenciales son el método de Runge-Kutta, los métodos multipaso
y los métodos de extrapolación.
Ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden Una
ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial se expresa de la
siguiente forma:
4.2.1 METODOS DE LOS OPERADORES
Un operador es un objeto matematico que convierte una funcion en otra,
por ejemplo, el operador
derivada convierte una funcion en una funcion diferente llamada la funcion
derivada. Podemos
denir el operador derivada D que al actuar sobre una funcion
diferenciable produce la derivada
de esta, esto es: D0f(x) = f(x) ; D1f(x) = f0(x) ; D2f(x) = f00(x) ; : : : ;Dnf(x)
= f(n)(x) : Es posible construir la siguiente combinacion lineal con los
operadores diferenciales: P(D) = a0 + a1D + a2D2 + _ _ _ + anDn ; an 6= 0 : (1)
donde a2; a1; a2; : : : an son constantes. A este nuevo objeto lo podemos
llamar el Operador Polinomial
de orden n.La utilidad de este objeto matematico quedara clara si
hacemos la siguiente definicion
P(D)y anDn + an1Dn1 + _ _ _ + a2D2 +
a1D + a0 y = anDny + an1Dn1y + _ _ _ + a2D2y + a1Dy + a0y
= any(n) + an1y(n1) + _ _ _ + a2y00 + a1y0 + a0y (2)Por otro lado, recordemos que una ecuacion diferencial lineal
de orden n con coeficientes constantes es una ecuacion de la forma any(n) + an1y(n1) + _ _ _ + a2y00 + a1y0 + a0y = Q(x) ; (3) por
lo tanto, (3) se puede escribir de una manera compacta como P(D)y = Q(x) : (4)
El operador polinomial es lineal, esto significa que tiene las
siguientes propiedades Si f1(x) y f2(x) son dos funciones diferenciables de
orden n, entones P(D) [_f1(x) + _f2(x)] = _P(D)f1(x) + _P(D)f2(x)donde y son
constantes. Ademas: Si y1(x); y2(x); : : : ; yn(x) son n soluciones de la
ecuacion diferencial homogenea P(D)y = 0entonces yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + _
_ _ + Cnyn(x) es tambien una solucion. Si yh(x) es una solucion de P(D)y = 0 y
yp(x) es una soluci_on de P(D)y = Q(x) entonces y(x) = yh(x) + yp(x) es una
solucion de P(D)y = Q(x).
Si yp1(x); yp2(x); : : : ; ypn(x) son soluciones particulares de las
respectivas n ecuaciones P(D)y = Q1(x); P(D)y = Q2(x); : : : ; P(D)y = Qn(x)
resulta entoneces que P(D) [yp1(x) + yp2(x) + _ _ _ + ypn(x)] = Q1(x) + Q2(x) +
_ _ _ + Qn(x) implica que yp(x) = yp1(x) + yp2(x) + _ _ _ + ypn(x) es una
soluci_on deP(D)y = Q1(x) + Q2(x) + _ _ _ + Qn(x)
BIBLIOOGRAFIA
Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones al modelado, Dennis G. Zill Edit: Thomson
Ecuaciones Diferenciales, Frank Ayes Jr, Edit. Mc. Graw Hill
4.2.2TRANFORMADA DE LAPLACE
Sea
f : [0,+∞) → C una función
localmente integrable, esto es, existe la integral de Riemann de f en todo
intervalo compacto [0, a] ⊂ [0,+∞). Se define
la Transformada de 6 Transformada de Laplace
Laplace
de f en z ∈ C
como L[f](z) =Z +∞0e−ztf(t)dt,
siempre que tal integral impropia exista. Como el alumno debe conocer, la
convergencia dela integral Z +∞0 |e−ztf(t)|dt
implica la convergencia de la integral . Denotaremos por Df
el dominio de L[f], es decir, el subconjunto del plano
complejo donde la expresión tiene sentido.
A continuación vamos a ver ejemplos de Transformadas de Laplace de algunas
funcioneselementales. • Función de Heaviside.
Sea a ≥ 0 y consideremos la función de Heaviside ha
definida anteriormente. Entonces para todo z ∈ C
tal que Rez > 0 se verifica L[ha](z) =Z +∞0e−ztha(t)dt
=Z +∞ae−ztdt= limx→+∞Z
xae−ztdt = limx→+∞μe−zaz
−e−zxz¶=e−za
z.
En
particular, cuando a = 0 obtenemos L[h0](z) =1z. • Función
exponencial. Sea ω ∈ C y consideremos la función exponencial f(t)
= eωt. Se verifica entonces para todo z ∈ C tal que Rez
> Re ωL[f](z) =Z +∞0e−zteωtdt
=Z +∞0e−(z−ω)tdt=
limx→+∞Z x0e−(z−ω)tdt
= limx→+∞μ1z − ω
−e−(z−ω)xz
− ω¶=1z − ω.
En
particular, si ω = 0 se verifica que f(t) = 1, con lo que nuevamenteL[ha](z)
=1z para todo z ∈ C
tal que Rez > 0. • Potencias. Sea n un
número natural y consideremos la función fn(t) = tn. Vamos ver que la
Transformada de Laplace de fn viene dada por la expresió L[fn](z)
=n!zn+1 para todo z ∈ C tal que Rez > 0.7
Linealidad
Esta
propiedad será muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes, a la vez que permitirá el cálculo de la transformada
de algunas funciones. Teorema 2 Sean f, g ∈ E y
a, b ∈ C.
Entonces para todo z ∈ Df ∩ Dg se verifica
que L[af + bg](z) = aL[f](z)
+ bL[g](z). La demostración se sigue
inmediatamente de la linealidad de la integral. Consideremos L[af
+ bg](z) = Z +∞ 0 e−zt(af(t) +
bg(t))dt = lim x→+∞Z x0e−zt(af(t)
+ bg(t))dt= a limx→+∞Z
x0e−ztf(t)dt + b lim x→+∞ Z
x0e−ztg(t)dt =
aL[f](z) + bL[g](z), lo
que concluye la prueba. A partir de la linealidad de la Transformada de Laplace
podemos obtener nuevas Transformadas de funciones elementales, como muestran
los siguientes ejemplos. • Función seno.
Sea ω ∈ R
y consideremos la función f(t) = sin(ωt) = eiωt − e−iωt
2i. Entonces L[f](z) =12i¡ L[eitω](z)
− L[e−itω](z)
¢=12iμ1z − iω −1z + iω¶=ωz2
+ ω2
siempre
que Rez > 0. • Función coseno. Sea ω ∈ R
y consideremos la función f(t) = cos(ωt) = eiωt + e−iωt
2. De forma análoga a la anterior se obtiene que L[f](z)
=z z2 + ω2 siempre que Re z > 0.10
Transformada
de Laplace • Función seno hiperbólico. Sea ω ∈ R
y consideremos la función f(t) = sinh(ωt) =eωt − e−ωt2.Entonces
L[f](z) =12¡ L[eωt](z)
− L[e−ωt](z)¢=12μ1z
− ω −1z + ω¶=ωz2 − ω2
si Re z > |ω|. • Función
coseno hiperbólico. Sea ω ∈ R y consideremos la función f(t) = cosh(ωt)
=eωt + e−ωt2.De forma análoga a la anterior se obtiene
que L[f](z) =z z2 − ω2
Bibliografia:
Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera, 5ta Edicion Edit, Limusa .
Métodos de solución de ecuaciones diferenciales y aplicaciones, Maria del carmen, edit Reverte
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