4.1.1 SISTEMAS DE ECUACIO NESDIFERENCIALES

Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de 1^er orden

     ...

Utilizando notación matricial el sistema se puede escribir

  donde

y su derivada

y

Esta notación, además de simplificar la escritura, enfatiza el paralelismo entre los sistemas y las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Se dice que un vector x = { (t)} es solución del sistema si sus componentes satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Supóngase que P y q son continuos en un intervalo  < t <  . En primer lugar, se estudia la ecuación homogénea

(1)

Una vez que esta ecuación esté resuelta se resolverá la no-homogénea.

Sean

 soluciones específicas de la ecuación homogénea.

Teorema 1

Si y son soluciones del sistema (1), entonces  es solución también, donde y son constantes arbitrarias.

Este es el principio de superposición y se comprueba sin más que diferenciar la solución propuesta y sustituirla en (1)

Aparentemente se pueden encontrar infinitas soluciones, por ello se debe cuestionar acerca del número mínimo de soluciones independientes que generan todas y cada una de las soluciones del sistema.

Por similitud a los temas previos se puede afirmar que habrá n. Sean , , ......, . Considérese la matriz formada por estos vectores columna -cada columna es uno de estos vectores-

Estas soluciones serán linealmente independientes en cada punto t del intervalo  < t <  si y sólo si el determinante es distinto de cero en ese punto. Al determinante de X se le llama wronskiano de las n soluciones.

Teorema 2

Si las funciones vectoriales , , ......, son soluciones linealmente independientes del sistema (1) en cada punto de  < t <  entonces la solución del sistema { (t)} puede ser expresada como una combinación lineal de , , ......, .

Para demostrarlo véase que con sólo elegir adecuadamente los valores de las constantes se puede obtener la solución { (t)} que cumpla unas determinadas condiciones de contorno en un punto del intervalo   < t < 

Sean estas condiciones  siendo  Si

Sustituyendo el valor se obtienen n ecuaciones algebraicas de la forma:

Este sistema tiene solución para las incógnitas , , ........, si el determinante de los coeficientes es distinto de cero. Como el wronskiano es distinto de cero -las funciones son independientes- en el intervalo  < t <  , el determinante es distinto de cero. Por consiguiente hay una única solución del sistema y  Llamando W(t) al wronskiano. Dicha función verifica la ecuación diferencial. que se conoce con el nombre de fórmula de Abel.

Como

Derivando

pero

o empleando el convenio de Einstein de suma en índices repetidos:

        Por tanto

 Por consiguiente se llega a que

 Integrando se obtiene que   siendo K una constante de integración.

Teorema 3

Si , , ......, son soluciones de     en el intervalo  < t <  entonces en este intervalo el wronskiano o es cero o nunca es cero.

La demostración surge como una consecuencia de la fórmula de Abel. Si las funciones son continuas en ( , ) la traza de la matriz P(t) es una función continua y por consiguiente la función exponencial no se anula para valores de x pertenecientes al intervalo ( , ). El único valor que puede ser cero es la constante K. Si lo es, el wronskiano es cero para cualquier valor de x; en caso contrario, nunca se anula.

Teorema 4

Si se llama

, , ... ,  y las soluciones , , ......, son tales que 

donde t es cualquier punto en  < t <  , entonces , , ......, son conocidas como soluciones fundamentales y cualquier solución del sistema se puede expresar como una combinación lineal de estas soluciones fundamentales.

La demostración es una consecuencia de lo visto en teoremas anteriores. Estas soluciones fundamentales son linealmente independientes, ya que en un punto del intervalo su wronskiano es distinto de cero; en concreto, vale uno. Al ser un conjunto de n soluciones linealmente independientes constituye un conjunto generador de soluciones.