4.2 METODOS DE SOLUCIONES

El teorema de Peano-Picard garantiza la existencia de una solución y su unicidad para toda ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes continuos en un intervalo tiene solución única en dicho intervalo. Para el caso de ecuaciones diferenciales no-lineales no existen resultados análogos al de Peano-Picard.

El teorema de Peano-Picard demuestra la existencia mediante una demostración constructiva, para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Puesto que toda ecuación diferencial lineal de orden arbitrario puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se sigue del teorema de Peano-Picard la existencia y unicidad de la solución. La idea del teorema es simple construye una sucesión de Cauchy funciones cuyo límite es precisamente la solución del sistema. La demostración de la unicidad por otra parte resulta trivial.

Soluciones analíticas Existen métodos de resolución generales para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que permiten encontrar soluciones analíticas. En particular si los coeficientes de la ecuación lineal son constantes o periódicos la solución es casi siempre fácil de construir. Para coeficientes no constantes o no periódicos, pero que son desarrollables en serie de Taylor o serie de Laurent es aplicable con ciertas restricciones el método de Frobenius. Otra posibilidad es reducir una ecuación diferencial lineal de orden n a un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Para las ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales no existen métodos generales.

Soluciones numéricas Algunos de los métodos de solución numérica de ecuaciones diferenciales son el método de Runge-Kutta, los métodos multipaso y los métodos de extrapolación.

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Una ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial se expresa de la siguiente forma:

 Donde es la condición inicial. Entre los tipos de EDOs de primer orden se encuentran: ^{[ ]}Ecuación de variables separables Son EDOs de la forma:  En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:        En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación       De donde es posible obtener la solución Ecuación exacta  Una ecuación de la forma: se dice exacta si existe una función F que cumpla:      y   Su solución es entonces: