4.1.2 SISTEMA DE ECUCION LINEAL HOMOGÉNEO

En este apartado se construye la solución general de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.

Sea el sistema x' = A·x donde A es una matriz n x n. Por analogía a las ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes, se busca una solución de la forma  donde el vector a y el escalar r son constantes a determinar. Sustituyendo en la ecuación diferencial se llega a:

 como no es cero, se obtiene que  o (A-r·I)·a = 0 donde I es la matriz identidad. Por tanto para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales se ha de obtener la solución de un sistema algebraico. Precisamente éste es el problema de determinación de vectores y valores propios de la matriz A. Por tanto el vector  solución del sistema viene definido por los valores r que son los autovalores de A y los vectores a son sus autovectores asociados.

Ejemplo 

Suponiendov    se llega a que  luego  Son soluciones:

 y  y los autovectores asociados son:  Por tanto las soluciones son  y

El wronskiano es que no es cero, por tanto, la solución general es:

 puesto de otra forma:   

Para visualizar estos resultados se pueden representar en el plano las soluciones para distintos valores de y .

Volviendo al sistema original, los autovalores (puede haber raíces múltiples) son las raíces de:

det (A - r·I) = 0